Matemáticas para CATV: Módulo 2

Señales y su representación

¿Qué es una señal?

Señal se define como:

• La variación de una corriente eléctrica u otra magnitud física que se utiliza para transmitir información.O bien, como:
• La representación de una magnitud física por medio de sus cambios o variaciones en el tiempo.

• Como ejemplo de fenómenos físicos que se pueden representar por medio de una señal analógica, está el sonido, las variaciones de temperatura y el movimiento.
• La señal analógica básica es una onda senoidal:

Las señales senoidales (funciones seno o coseno) se representan por:

S(t) = A sen [ωt + φ]

donde:

‘A’es la amplitud

‘ω’es la frecuencia angular

‘φ’es la fase de la señal.

‘t’es el tiempo.

• Los valores de una señal senoidal se repiten en intervalos iguales de tiempo, por lo tanto, la señal esperiódica. Existen señales periódicas y no periódicas.
• En las siguientes diapositivas se explicarán las propiedades de las señales senoidales…

Amplitud

• Amplitud pico (A_p):se refiere al valor máximo que una señal alcanza, a partir de su valor promedio.
• Amplitud pico a pico (A_p-p):es la distancia medida de una cresta a un valle de la onda. Es el doble de la amplitud pico.

Frecuencia

• La frecuenciaes el número de ciclos que tiene una señal alterna durante un segundo. La frecuencia se abrevia con una f.
• La frecuencia se mide en Hertz (Hz) o ciclos por segundo.

Periodo (T).

El períodoes el tiempo de duración de un ciclo de la señal alterna. El período se abrevia con una Ty se mide en segundos(s).

Longitud de onda (λ)

Longitud de onda (λ) de una señal senoidal es la distancia, en metros(m), que existe entre dos crestas consecutivas de la onda.

Fase (φ)

El ángulo de fase o fase de una señal se refiere a su desplazamiento hacia la derecha o la izquierda con respecto a una referencia.

• La fasese mide en grados(º) o en radianes(rad).
• La relación entre grados y radianes estádada por la expresión:

360° = πrad 2

(grados)     (radianes)

Para hacer conversiones de grados a radianes, simplemente se hace una regla de tres:

360°  → 2πrad

 grados → x rad

Por ejemplo, si se quiere saber a cuántos radianesequivalen 45°:

360°  → 2πrad

 45° → x rad

x = ((45°)(2π))/360° = ((90)(360°))π = (1/4)π

45° = (1/4)πrad

Relación entre frecuencia y período.

• Recuerde: La frecuencia(f)es el inverso del período (T):

f = 1/T

• O bien, el período (T)es igual al inverso de la frecuencia (f):

t = 1/f

La frecuencia de la señal de la Figura 1 es 2 Hz, su período es de:	La frecuencia de la señal de la Figura 2 es 40 Hz, su período es de:
T = 1/f = 1/2 = 0.5 s	T = 1/f = 1/40 = 0.25 s

Longitud de onda y frecuencia

La longitud de onda y la frecuencia de una señal están relacionadas a través de la ecuación:

λ = c/f

Donde:

‘c’ es la velocidad de la luz(c = 3 x 10⁸m/s)

‘f’ es la frecuencia de la señal en Hz

‘λ’ es la longitud de onda en metros.

Ejemplo: Obtenga la longitud de onda  de una señal cuya frecuencia es 6 MHz.

Datos:

c = 3 x 10⁸m/s

f = 6 x 10⁶Hz

λ= ?

λ	=	c	=	3x108	=	300,000,000	=	50m
		f		6x106		6,000,000

λ=50m

Señales y su representación

¿Cómo se representan las señales?

Las señales se pueden representar en tiempo o en frecuencia.

• En el dominio temporal se aprecian las variaciones de intensidad de la señal sobre el eje del tiempo.
• En el dominio frecuencial se analizan los componentes en frecuencia de la señal en un determinado ancho de banda.
• Para pasar del dominio de la frecuencia al dominio temporal o viceversa se emplean ciertas operaciones matemáticas (que van más allá del propósito y alcance de este manual).

Las señales en tiempo se pueden apreciar en un osciloscopio. En un analizador de espectros se pueden observar en el dominio de la frecuencia.

Representación de señales en frecuencia.

La representación en frecuencia de las señales periódicas consiste en una frecuencia fundamental ω₀ (ó 1a armónica) y en múltiplos enteros de ella o frecuencias armónicas.

• Si el espectro de frecuencia de una señal se localiza alrededor de la frecuencia f = 0 Hz, se dice que la señal es de “banda base”.
• Las señales en banda base se obtienen directamente de la fuente que las origina (antes de ser moduladas), por ejemplo nuestra voz.

 

Ley de Ohm

La ley de Ohm dice que la corriente que circula por un conductor es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada, e inversamente proporcional a la resistenciadel mismo. Esto queda expresado por la siguiente fórmula:

I = V/R

O bien:

V = RI

Donde:

V = Voltaje en “volts”(V)

I = Corriente en “amperes”(A)

R= Resistencia en “ohms”(Ω)

¿Para qué sirve la Ley de Ohm?

• Es una de las leyes fundamentales de la electrónica.
• Permite hacer cálculos con las unidades básicas presentes en cualquier circuito eléctrico: tensión o voltaje (V), intensidad de la corriente (I) y resistencia eléctrica (R).
• La ley de Ohm permite, por ejemplo, calcular la ubicación de las fuentes de alimentación en una red de cable.

Ancho de Banda

• El ancho de banda de una señal puede entenderse como el espacio que ésta requiere para transmitirse.
• El ancho de banda es un rango de frecuencias positivas medido en Hertz.

Ejemplo: las estaciones de radio en AM se localizan entre los 535 kHz y los 1,705 kHz, por lo que el ancho de banda de la banda de AM es de:

1,705 kHz -535 kHz = 1,170 kHz = 1.17 MHz

Donde el ancho de banda de cada canal de AM es de 10 kHz.

Ancho de banda en CATV

Uso típico del ancho de banda en cable:

Algunos valores importantes de ancho de banda son:

Oído humano:                             20 kHz (20 Hz a 20 kHz)

Voz:                                          Hasta 5 kHz

Canal telefónico:                         3.1 kHz (300 Hz A 3.4 kHz)

Señal de audio de Alta fidelidad:   15 kHz

Señal de vídeo:                           4.2 MHz (formato NTSC)

Canal de audio (FM):                    200 kHz

Canal de televisión:                     6 MHz (formato NTSC)

Redes de cable:                          330 MHz a 1 GHz

El proceso de modulación

¿Qué es la modulación?

• La modulación es el proceso donde la información original es modificada para ser transportada en una señal transmisible.Es el método de procesar una señal de forma que se adecue a las características de propagación del canal de comunicación.
• La modulación consiste en variar una característica (amplitud, frecuencia o fase) de una señal (portadora) en función de una segunda señal (moduladora).

¿Qué tipos de modulación existen?

La modulación en amplitud (AM) y la modulación en frecuencia (FM) son dos tipos de modulación muy comunes.

Adicionalmente a la AM y a la FM, existen también otros métodos de modulación, por ejemplo PSK y QAM.

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• La señal moduladora es una señal de banda base que contiene la información a transmitir (voz, música, vídeo, datos, etc.)

• La señal portadora es un señal senoidal de alta frecuencia que sirve para transportar la información de la señal moduladora.

• La modulación tiene el efecto de trasladar el espectro de frecuencia de la señal moduladora a una banda de frecuencia superior, alrededor de la frecuencia portadora (f_c).

• Al trasladarse el espectro de la señal moduladora, ésta pasa de ser una señal de banda base a una señal de alta frecuencia (mayor a la frecuencia de la señal en banda base).

• La frecuencia de la señal portadora (f_c) se conoce como frecuencia portadora.

• Ejemplo: La frecuencia portadora es la que sintonizamos en los receptores para escuchar las transmisiones de una estación de radio.

Ventajas de la modulación:

• Permite transmisiones más eficientes de la señal moduladora (mensaje).
• Consigue una reducción del ruido y de la interferencia a la que se enfrenta la señal.
• Posibilita la asignación de distintas frecuencias portadoras. Esto permite, por ejemplo, seleccionar distintos canales de televisión que se transmiten en forma simultánea a través de una red de cable.
• Permite la transmisión simultánea de múltiples señales a través de un solo canal o medio.

Modulación en amplitud

La modulación en amplitud consiste en variar la amplitud de la señal portadora en proporción directa a las variaciones de la señal moduladora.

Proceso de modulación AM:

Donde: f(t) es la señal moduladora

cos ω_c(t) es la señal portadora

f(t) cos ω_c(t) es la señal modulada

Modulación en frecuencia

La modulación en frecuencia consiste en variar la frecuencia instantánea de la señal portadora en proporción directa a las variaciones de la señal moduladora.

La fórmula matemática para FM es:

Φ_FM= cos (ω_ct+ βsen ω_mt)

Donde:

sen ω_m(t) es la señal moduladora

cos ω_c(t) es la señal portadora

β es una constante de modulación en frecuencia

cos (ω_ct+ β sen ω_mt) es la señal modulada

Teóricamente, podría utilizarse cualquier tipo de modulación en cualquier rango de frecuencias.

Por razones políticas, comerciales y de orden, los gobiernos establecen regulaciones para especificar el tipo de modulación, el ancho de banda y el tipo de información que puede ser transmitido sobre una banda de frecuencia específica.

A nivel internacional, la “Unión Internacional de Telecomunicaciones”(ITU) se encarga de expedir recomendaciones sobre el uso del espectro electromagnético.

Modulador empleado en un CRC

La señal de televisión

• En CATV, la señal de videode banda base tiene un ancho de banda de 4.2 MHzy se modula enAM. EnCATVLa señal de audiose modula enFMy tiene un ancho de banda de 15 kHz.

• El ancho de bandade un canal de televisión es de 6 MHz.

Un canal de CATV en frecuencia

La relación de aspecto es la proporción o comparación del ancho de una imagen con su altura. Se expresa de forma “X:Y”y se obtiene dividiendo el ancho de la imagen entre su altura.

La relación de aspecto 4:3 es muy común en la televisión, mientras que en el cine se utiliza generalmente 16:9.

Especificaciones de la radiodifusión por TV

A continuación se presenta una tabla con las principales características de la transmisión de televisión:

Tipo de modulación	Vídeo: AM Audio: FM
Frecuencias portadoras (a partir del extremo izquierdo del canal)	Vídeo: 1.25 MHz ± 1kHz Audio: 5.75 MHz ± 1kHz Color:  4.83 MHz ± 1kHz
Bandas de transmisión (para TV abierta)	54 MHz a 72 MHz (Ch2 - Ch4) 76 MHz a 88 MHz (Ch5 – Ch6) 174 MHz a 216 MHz (Ch7 – Ch13) 470 MHz a 806 MHz (Ch14 – Ch69)
Ancho de banda de la señal modulada	Audio: 15 kHz Video: 4.2 MHz
Ancho de banda por canal	6 MHz: MHz