El blog del cable: Matemáticas para CATV: Módulo 1

Notación Científica

Pequeños y grandes números

En el mundo de la televisión por cable se emplean números muy pequeños y muy grandes.

En realidad, es difícil entender qué tan pequeñas o tan grandes pueden ser las cifras. Sin embargo, si pensamos en algún número con el que trabajemos cotidianamente, se puede comprender mejor el concepto.

Por ejemplo:

Números grandes:

La velocidad de la luz en el vacío es de 299,792,458metros por segundo (m/s), que usualmente se redondea a 300,000,000m/s.
El ancho de banda de un canal de televisión en televisión por cable es de 6,000,000Hz.

Números pequeños:

El diámetro de una fibra óptica es similar al de un cabello humano y puede ser de entre 0.000008 m a 0.0006 m dependiendo del tipo de fibra.
Las señales que viajan por una fibra óptica pueden tener una longitud de onda de 0.000001310 m.

¿Qué es la notación científica?

Afortunadamente, existen algunas maneras para simplificar y hacer más sencillo el uso de cifras.

La notación científica es un método de escritura empleado para facilitar la lectura y manejo de pequeños y grandes números.

Se basa en potencias de 10 y se utiliza generalmente para cifras que tienen muchos dígitos, por ejemplo:

1,000,000 = 1x106
300,000,000 = 3x108

0.003 = 3x10-3
0.000001310 = 1310x10-9

Es decir, para escribir un número en notación científica se reemplazan los ceros o las posiciones que ocupan los dígitos de la cifra, a partir del punto decimal, por potencias de 10.
Por ejemplo:

345,000,000 = 345x106
(seis posiciones equivale a: 10 elevado a la potencia 6)

345,000,000 = 3.45x108
(ocho posiciones equivale a: 10 elevado a la potencia 8)

Y para pasar de notación científica al número original simplemente se recorren los lugares que indica la potencia.
Ejemplos:

6x106 =6,000,000
(seis posiciones a la derecha)
3x10-5 =0.00003
(cinco posiciones a la izquierda)

Prefijos

Para facilitar aún más la escritura de cifras se utilizan prefijos. Cada prefijo indica la potencia a la cual se eleva la base 10.

^Prefijo	^Símbolo	^{Potencias de 10}	^Número
^Tera	^T	^1x10	^{1,000,000,000,000}
^Giga	^G	^1x10	^{1,000,000,000}
^Mega	^M	^1x10	^1,000,000
^kilo	^k	^1x10	^1,000
^mili	^m	^1x10	^0.001
^micro	µ	^1x10	^0.000,001
^nano	ⁿ	^1x10	^0.00,000,001

Ejemplos:

2 km = 2x10³m = 2,000 metros
74.5 kg = 74x10³g = 74,500 gramos
1310 nm = 1310x10^-9m = 0.000001310 metros
64 kbps = 64x10³bps = 64,000 bits por segundo
6 MHz = 6x10⁶Hz = 6,000,000 Hertz
1 mV = 1x10³V = 0.001 volts

Unidades del SI y del sistema inglés.

Sistema Internacional de Unidades (SI).

El Sistema Internacional de Unidades ha definido unidades fundamentales para las magnitudes básicas.

Magnitud	Unidad básica	Símbolo
Longitud	metro	m
Masa	kilogramo	kg
Tiempo	segundo	s
Intensidad de corriente eléctrica	ampere	A
Temperatura	kelvin	K

Sistema inglés

El Sistema Inglés también ha definido unidades para algunas magnitudes básicas. Estas unidades se utilizan en algunos países como EU.

Unidad	Símbolo	Equivalencia en sistema inglés	Equivalencia en sistema internacional
Pulgada	in	-	2.54 cm
Pie	ft	12 in	30.48 cm
Yarda	yd	3 ft	91.44 cm
Milla	mi	1,760 yd	1,609 m
Onza	oz	-	0.028 kg
Libra	lb	16 oz	0.454 kg

Unidades utilizadas en CATV

Existen otras unidades además de las que define el SI y el Sistema Inglés. Las más utilizadas en la televisión por cable son:

Especificación	¿Con qué unidades se mide?
Especificación	Sistema Internacional	Sistema Inglés
Longitud del cable coaxial	km, m	mi, ft
Diámetro del cable	cm, mm	in
Impedancia característica	Ω, (ohms)	Ω, (ohms)
Máximo radio de curvatura	cm	in
Peso del cable por longitud	kg/km	lbs/kft
Temperatura	°C	°F

Para hacer conversiones entre unidades del Sistema Inglés y el Sistema Internacional de unidades, refiérase a la tabla del Sistema Inglés.

Ejemplo: ¿A cuántos metrosequivalen 50 ft?
Respuesta: se hace una regla de tres:

1 ft → 0.3048 m
50 ft → X m

50ft(0.3048m/1ft) = 15.24m

50 ft = 1524 m

Logaritmos

¿Qué es un logaritmo?

Los logaritmos son la base para comprender los decibeles pero ¿qué es un logaritmo? ¿de dónde salen los logaritmos?

Logaritmo es el exponente o la potencia a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para obtener un número dado. La expresión de logaritmo se define como:

n = log_bx

log_b(x) se lee como: “logaritmo base b de x”

Para comprender mejor la definición de logaritmo, es conveniente repasar las operaciones inversas. Algunos ejemplos de operaciones inversas son:

Operación	Operación inversa
Suma	Resta
2+2 = 4	4-2 = 2
Multiplicación	División
5x8 = 40	40÷8 = 5
Potencia	Logaritmo
10³ = 1000	log₁₀ (1000) = 3

¿De dónde salen los logaritmos?

El logaritmo es la operación inversa de la función potencia, es decir:

potencia

x = bⁿ

logaritmo

n = log_b x

El logaritmo más usado en las redes de cablees el logaritmo base 10.

Ejemplos

Ejemplo 1: La potencia se define como x = bⁿ

si b=10, n=4, x=?

Sustituyendo en x = bⁿ

x = 10⁴ = 10x10x10x10 = 1000

Su logaritmo es: (n = log_b x)

log₁₀(1000) = 4

Ejemplo 2: x = bⁿ

si b=2, n=3, x=?

x = bⁿ =2³ = 2x2x2 = 8

¿Cual es el logaritmo de 8 en base 2?

log₂ (8) = ?

log₂ (8) = 3

Entendiendo el decibel

¿Qué es un decibel?

Uno de los términos que causan más confusión en la industria del cable es el decibel.

El decibel (dB) es una medida logarítmica del cociente o relación de dos potencias.

Equivale a la décima parte de un bel(una unidad de referencia para medir la potencia de una señal). El nombre bel viene del físico Alexander Graham Bell.

El decibel es una unidad de medida adimensional y relativa (no absoluta), que es utilizada para facilitar el cálculo y poder realizar gráficas en escalas reducidas.

¿Cuantos tipos de decibeles hay?

dB
dBi
dBmV
dBµV
dBSPL
dBW
dBm

Existen diferentes tipos de decibeles dependiendo de la aplicación: electrónica, sonido o comunicaciones. Algunos ejemplos son:

dB: Decibel.Se emplea para medir relaciones entre potencias.
dBmV: Decibeles referidos a 1 milivolt.Se utilizan en la televisión por cable.
dBm: Decibeles referidos a 1 miliwatt.Usados en cálculos para redes HFC (Híbridas Fibra Coaxial).
dBSPL: Decibeles referidos a 20 micropascales. Utilizados en la industria del sonido.

¿Cómo se obtienen los decibeles?

La ganancia en decibeles de un circuito está dada por:

G_dB = 10 log (P_SAL/P_ENT)

Donde ‘P_SAL’y P_ENT representan las potencias promedio de salida y de entrada del circuito, respectivamente.

Ejemplo: si el cociente de dos potencias es igual a 2, su ganancia o pérdida en decibeles será de:

G_dB = 10log2 = 3.01dB

Nota: Cuando no se especifica la base del logaritmo, se da por entendido que es base 10.

¿Qué pasa cuando la potencia de salida es el doble que la de entrada?

G_dB = 10log(P_SAL/P_ENT) = 10log(2/1) = 10log2 = 3.01dB

¿Quépasa cuando la potencia de salida es igual que la de la entrada?

G_dB = 10log(P_SAL/P_ENT) = 10log(1/1) = 10log1 = 0dB

¿Quépasa cuando la potencia de salida es la mitad que la de entrada?

G_dB = 10log(P_SAL/P_ENT) = 10log(1/2) = 10log0.5 = -3.01dB

Un resultado positivo indica ganancia en decibeles. En las redes de cable los amplificadores son ejemplo de dispositivos que ofrecen ganancia.

Un resultado negativo indica pérdida en decibeles. En las redes de cable los atenuadores son ejemplo de dispositivos que provocan pérdida.

Gráfica de 10log(P₂/P₁)

En la gráfica de la siguiente diapositiva se aprecia el comportamiento del logaritmo del cociente de dos potencias (P₁/P₂, donde P₂ es la potencia de salida y P₁ es la potencia de entrada).

A medida que la potencia de salida (P₂) aumenta en relación a P₁ la gráfica no crece linealmente sino que experimenta un crecimiento gradual.

A medida que la potencia de salida disminuye (cuando es menor que la potencia de entrada), la gráfica decrece drásticamente y se acerca al eje vertical.

A medida que la potencia de salida (P₂) aumenta, la gráfica no crece linealmente sino que experimenta un crecimiento gradual.

El doble de la potencia:P₂/P₁

A medida que la potencia de salida disminuye, la gráfica decrece drásticamente y se acerca al eje vertical.

Algunas reglas para dB y potencias

3 dB equivale al doble de la potencia (P₂= 2P₁).
-3 dB equivale a perder la mitad de la potencia (P₂= ½P₁).
La misma potencia equivale a 0 dB (P₂= P₁).
6 dB equivale a cuatro veces la potencia de entrada (P₂= 4P₁).

10 dB es diez veces la potencia de entrada (P₂= 10P₁).?

G_dB = 10log(P_SAL/P_REF)

¿Porqué usar decibeles?

Los decibeles se utilizan para facilitar las operaciones. En los cálculos para la industria del cable sería muy difícil trabajar con milivolts (mV) en lugar de dBmV (decibeles referidos a un milivolt).

Ejemplo: en lugar de decir que el nivel de salida de un equipo es de 4 dBmV, se tendría que decir que el nivel es de 0.001585 volts.

Otra ventaja de los decibeles es que, al no basarse en una escala lineal, permiten realizar gráficas en escalas reducidas.

Decibeles referidos a 1 miliVolt: dBmV

Es la medida del nivel de la señal en las redes de cable.
Es una medida referida a 1 miliVoltsobre una impedancia de 75 Ω.

dBmV

G_dB = 20 log (V_SAL/V_REF)

G_dB = 10 log (P_SAL/P_REF)

V_REF= 1 mV		V_SAL = ?

En este caso la referencia para los cálculos es 1 milivolt (1 mV).

dBmV = 20 log (V_SAL/1mV)

¿Por qué la fórmula para la ganancia en decibeles referida a voltaje se multiplica por un factor de 20 y no de 10?

G_dB = 10 log (P_SAL/P_REF)

G_dB = 20 log (V_SAL/V_REF)

Si la fórmula de potencia es:

P = I²R (1)

Y la ley de Ohm dice:

V=R*I, o bien: I=V/R (2)

Sustituyendo la ecuación 2 en la 1:

P=(V/R)²R = (V²/R²)R = V²/R

P = V²R (3)

Y sustituyendo la ecuación 3 en la fórmula de ganancia en decibeles para las potencias, se tiene:

G_dB = 10log(P_SAL/P_REF) = 10log(V²_SAL/R_SAL)/(V²_REF/R_REF)

R_SAL = R_REF = 75Ω

∴G_dB=10log(V²_SAL/R_SAL)/(V²_REF/~~R_REF~~)=10log(V²_SAL/V²_REF)=10log(V_SAL/V_REF)²

Por propiedades de decibeles:

G_dB = 10log(V_SAL/V_REF)²

G_dB = 2(10log(V_SAL/V_REF)) = 20log(V_SAL/V_REF)

G_dB = 20log(V_SAL/V_REF)

Por lo tanto, queda demostrado de dónde se obtiene el factor de 20 en la fórmula de decibeles referidos a 1 mV.

G_dB = 20log(V_SAL/V_REF)

Ejemplos con dBmV:

¿A cuantos dBmV equivalen 2 mV?

G_dB = 20log(2mV/1mV) = 20log(2) = 6.02dBmV ≈ dBmV

Para 4 mV:

G_dB = 20log(4mV/1mV) = 20log(4) = 12.04dBmV ≈ 12dBmV

Algunos ejemplos para dBmV:

Escala lineal	Escala logarítmica
512 mV	54 dBmV
256 mV	48 dBmV
128 mV	42 dBmV
64 mV	36 dBmV
32 mV	30 dBmV
16 mV	24 dBmV
8 mV	18 dBmV
4 mV	12 dBmV
2 mV	6 dBmV
1 mV	0 dBmV

Otros ejemplos para dBmV:

Escala lineal	Escala logarítmica
1 mV	0 dBmV
0.5 mV	-6 dBmV
0.25 mV	-12 dBmV
0.125 mV	-18 dBmV
0.0625 mV	-24 dBmV
0.03125 mV	-30 dBmV
0.015625 mV	-36 dBmV
0.0078625 mV	-42 dBmV
0.00390625 mV	-48 dBmV
0.001953125 mV	-54 dBmV

Reglas para dBmV y voltajes:

6 dBmV equivale al doble del voltaje (V₂= 2V₁).
-6 dBmV equivale a perder la mitad del voltaje (2V₂= V₁).
El mismo voltaje equivale a 0 dBmV (V₂= V₁).
12 dBmV equivale a cuatro veces el voltaje de entrada (V₂= 4V₁).
20 dBmV es diez veces el voltaje (V₂= 20V₁).

G_dB = 20log(V_SAL/V_REF)

Decibeles referidos a 1 miliwatt: dBm

Es una medida referenciada a 1 miliwatt(0.001 watts)

Se utiliza generalmente para cálculos ópticos.

dBm

G_dB = 10log(P_SALP_REF)

P_REF= 1 mW		P_SAL = ?

En este caso la referencia para los cálculos es 1 miliwatt (1mW).

G_dB = 10log(P_SAL/1mW)

Decibeles referidos a 1 microvolt: dBµV

No es muy frecuente pero en algunas ocasiones se utilizan los decibeles referidos a 1 microvolt(μV):

dBµV = 20log(V_SAL/1µV)

Como se puede apreciar en la fórmula, únicamente cambia el voltaje de referenciaa 1 microvolt.
La diferencia entre dBmV y dBμV son 60 dB:

0 dBmV equivale a 60 dBμV

domingo, 21 de abril de 2013

Matemáticas para CATV: Módulo 1